| Rotazioni e simmetrie |
Sia dato un quadrato ABCD e siano i, r90, r180, r270 rispettivamente le rotazioni di 0°, 90°, 180°, 270° del quadrato rispetto al suo centro di simmetria, che è il punto d'intersezione delle diagonali.
Si può definire ° nell'insieme {i, r90, r180, r270}, operazione di composizione delle rotazioni.
rotazioni
Tabella rotazioni
Tabella rotazioni
Sia dato un quadrato ABCD e siano i, SY, SX, D1, D2 rispettivamente l'identità, le simmetrie che portano il quadrato a coincidere con se stesso rispetto all'asse di simmetria verticale e orizzontale, e rispetto alle diagonali D1 e D2.
Si può definire ° nell'insieme {i, SY, SX, D1, D2}, operazione di composizione delle simmetrie.
simmetrie
Tabella simmetrie
Tabella simmetrie
Si uniscano in unica tabella rotazioni e simmetrie
Tabella rotazioni e simmetrie
Tabella rotazioni e simmetrie
Da questa tavola deduciamo che:
- l'operazione di composizione dei movimenti considerati è ovunque definita
- I è l'elemento neutro
- ogni elemento ha un simmetrico:
I, R180, Sx, Sy, D1, D2 ognuno ha come simmetrico se stesso
R90 ed R270 sono uno il simmetrico dell'altro
- l'operazione non è commutativa
- l'operazione è associativa
Quindi i movimenti rigidi che portano il quadrato a coincidere con se stesso, costituiscono un gruppo non abeliano rispetto all'operazione di composizione.